冪次定律 (Power Laws)

 

https://www.youtube.com/watch?v=HBluLfX2F_k由 Veritasium 製作的影片，深入淺探討了冪次定律 (Power Laws) 與我們常知的常態分佈 (Normal Distribution) 之間的巨大差異，以及這如何改變我們對風險、成功和自然災害的理解。

以下是影片的重點整理：

1. 兩種截然不同的世界觀

影片首先區分了兩種數據分佈模式：

• 常態分佈 (Normal Distribution)： 適用於身高、智商等。數據集中在平均值附近，極端值（如身高是一般人的5倍）幾乎不可能發生。成因通常是隨機變數的相加 (Additive)。

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• 冪次定律 (Power Law)： 適用於財富分配、地震規模、戰爭傷亡、YouTube 觀看次數等。特徵是「長尾效應」，少數的極端事件（巨型地震、超級富豪）佔據了絕大部分的數據量。成因通常涉及指數級的增長或連鎖反應。

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2. 帕雷托與財富分配 (Pareto Distribution)

• 19世紀義大利工程師帕雷托 (Vilfredo Pareto) 發現，財富分配並非鐘形曲線。

• 當他在雙對數座標圖 (Log-log plot) 上繪製數據時，曲線變成了一條直線。這是冪次定律的數學特徵。這意味著「不平等」是該系統的自然屬性，且具有無標度性 (Scale-free)，即無論你縮放多大，其結構看起來都一樣（類似碎形）。

3. 三個擲硬幣遊戲的啟示

影片用三個遊戲解釋了數學原理：

• 遊戲一 (加法)： 贏了加$1，輸了沒事。結果是常態分佈。

• 遊戲二 (乘法)： 贏了變1.1倍，輸了變0.9倍。結果是對數常態分佈 (Log-normal)。雖然有偏斜，但仍有極限。

• 遊戲三 (聖彼得堡悖論)： 賭金每次翻倍直到擲出正面。期望值理論上是無限大。這產生了冪次定律。在這裡，平均值失去了意義，因為一次極端的好運（黑天鵝事件）可以壓倒所有之前的結果。

4. 自組織臨界性 (Self-Organized Criticality)

這或許是影片最核心的物理概念。

• 磁鐵實驗： 在居禮溫度 (Curie temperature) 時，磁鐵內部的原子排列會呈現「碎形」結構，這時系統處於臨界點，極度敏感。

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• 沙堆模型 (Sandpile Model)： 不斷往沙堆上丟沙子，沙堆會自動調整到「臨界狀態」。此時，丟下一粒沙子，可能什麼都不發生，也可能引發巨大的崩塌（雪崩）。你無法預測哪一粒沙子會引發大崩塌，因為系統結構本身就處於不穩定狀態。

• 森林大火： 森林大火也遵循冪次定律。「10點鐘政策」的教訓： 過去美國試圖撲滅所有小火，結果導致樹木密度過高（系統過度臨界），最終導致了1988年黃石公園無法控制的超級大火。小災難的發生其實釋放了壓力，防止了毀滅性的大災難。

5. 真實世界的應用與策略

這張圖表（冪次定律）告訴我們，世界分為兩個領域，你的生存策略應該取決於你在哪個領域：

• 常態分佈的領域 (Mediocristan)：

  • 例如：餐廳經營、航空業、按小時計費的工作。

  • 特徵：好日子和壞日子會互相抵銷，回歸平均。

  • 策略：追求「一致性」(Consistency)。

• 冪次定律的領域 (Extremistan)：

  • 例如：創業投資 (VC)、寫書、演藝事業、YouTube、戰爭、流行病。

  • 特徵：失敗是常態，但一次巨大的成功可以抵銷所有失敗並帶來巨額回報（贏家通吃）。

  • 策略：追求「堅持」(Persistence) 與「多次下注」。

  • 重要觀念： 在這個領域，你也許無法預測哪一次嘗試會成功（因為系統不可預測），所以目標不是規避風險，而是進行多次明智的下注，等待那一次「黑天鵝」般的爆發。

總結

世界並非總是平穩的「常態」。在許多自然和人類系統中（如股市崩盤、地震、網路爆紅），極端事件不僅是可能的，甚至是必然的。理解你身處的系統是遵循哪種分佈，決定了你該採取保守策略，還是該擁抱風險以博取指數級的回報。